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<!DOCTYPE html>

<title>Schwerpunktsystem</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Schwerpunktsystem</span></h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><p>Das <b>Schwerpunktsystem</b> (englisch: Center-of-mass system, CMS) ist ein <a href="Bezugssystem" title="Bezugssystem">Bezugssystem</a>, in dem der <a href="Massenmittelpunkt" title="Massenmittelpunkt">Schwerpunkt</a> des betrachteten physikalischen Systems im <a href="Koordinatenursprung" class="mw-redirect" title="Koordinatenursprung">Koordinatenursprung</a> ruht. Im Schwerpunktsystem sind viele dynamische Vorgänge besonders einfach zu beschreiben (s. u.).

</p><p>Aus der Definition des Schwerpunktsystems folgt direkt, dass in ihm der Gesamt<a href="Impuls" title="Impuls">impuls</a> der beteiligten Massen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m_{i}}">

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{i}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/95ec8e804f69706d3f5ad235f4f983220c8df7c2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle m_{i}}" loading="lazy"></span> (die Summe aller Impuls<a href="Vektor" title="Vektor">vektoren</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {p}}_{i}}">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {p}}_{i}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e0f7ed082c99f239319703553a9784a0d8809768.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:2.214ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {p}}_{i}}" loading="lazy"></span>) zu jeder Zeit, vor wie nach einem <a href="Sto%C3%9F_(Physik)" title="Stoß (Physik)">Stoß</a>- oder Reaktionsvorgang, gleich Null ist:

</p>

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</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{i}{\vec {p}}_{i}={\vec {0}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e0cb3bcdbd4de2ad12aec9233f0d3370c876f990.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:10.128ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle \sum _{i}{\vec {p}}_{i}={\vec {0}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Die Koordinaten <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {r}}_{s}{}}">

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</mstyle>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {r}}_{s}{}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/60cdba848854f243b15b848fe191df74123f7a75.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.226ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {r}}_{s}{}}" loading="lazy"></span> des Schwerpunkts S im <a href="Laborsystem" title="Laborsystem">Laborsystem</a> sind

</p>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {r}}_{s}={\frac {\sum _{i}m_{i}{\vec {r}}_{i}}{\sum _{i}m_{i}}}.}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3340a3cf8c8d96af4211ae5c2182cf07cc4bc976.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:15.311ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle {\vec {r}}_{s}={\frac {\sum _{i}m_{i}{\vec {r}}_{i}}{\sum _{i}m_{i}}}.}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Die <a href="Koordinatentransformation" title="Koordinatentransformation">Transformation</a> von einem System in das andere ist im <a href="Klassische_Physik" title="Klassische Physik">klassischen</a> Fall eine <a href="Galilei-Transformation" title="Galilei-Transformation">Galilei-Transformation</a>, im <a href="Relativistisch" class="mw-redirect" title="Relativistisch">relativistischen</a> Fall eine <a href="Lorentztransformation" class="mw-redirect" title="Lorentztransformation">Lorentztransformation</a>.

</p><p>In der <a href="Astronomie" title="Astronomie">Astronomie</a> wird das Schwerpunktsystem eines <a href="Mehrk%C3%B6rper-Problem" class="mw-redirect" title="Mehrkörper-Problem">Mehrkörper-Problems</a> <i><a href="Baryzentrisches_System" class="mw-redirect" title="Baryzentrisches System">baryzentrisches System</a></i> genannt.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiel_für_die_Anwendung"><span id="Beispiel_f.C3.BCr_die_Anwendung"></span>Beispiel für die Anwendung</h2></div>

<p>Die Geschwindigkeiten zweier Körper nach einem klassischen <a href="Sto%C3%9F_(Physik)#Elastischer_Stoß" title="Stoß (Physik)">elastischen Stoß</a> werden im <a href="Laborsystem" title="Laborsystem">Laborsystem</a> durch Lösung eines Gleichungssystems aus <a href="Energieerhaltungssatz" title="Energieerhaltungssatz">Energieerhaltungssatz</a>

</p>

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</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\sum E_{\mathrm {kin} }&=\sum E'_{\mathrm {kin} }\\{\frac {m_{1}}{2}}v_{1}^{2}+{\frac {m_{2}}{2}}v_{2}^{2}&={\frac {m_{1}}{2}}v_{1}'^{2}+{\frac {m_{2}}{2}}v_{2}'^{2}\\\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eabf78aeb63ea752f2b4f5ebaa703e8ac0be615c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.495ex; margin-bottom: -0.176ex; width:34.886ex; height:8.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\sum E_{\mathrm {kin} }&=\sum E'_{\mathrm {kin} }\\{\frac {m_{1}}{2}}v_{1}^{2}+{\frac {m_{2}}{2}}v_{2}^{2}&={\frac {m_{1}}{2}}v_{1}'^{2}+{\frac {m_{2}}{2}}v_{2}'^{2}\\\end{aligned}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>und <a href="Impulserhaltungssatz" title="Impulserhaltungssatz">Impulserhaltungssatz</a>

</p>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\sum {\vec {p}}&=\sum {\vec {p'}}\\m_{1}{\vec {v_{1}}}+m_{2}{\vec {v_{2}}}&=m_{1}{\vec {v_{1}'}}+m_{2}{\vec {v_{2}'}}\\\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b2a700ed8c1dc95592c71ef1f42e51c6b11a84c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.882ex; margin-bottom: -0.289ex; width:31.204ex; height:9.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\sum {\vec {p}}&=\sum {\vec {p'}}\\m_{1}{\vec {v_{1}}}+m_{2}{\vec {v_{2}}}&=m_{1}{\vec {v_{1}'}}+m_{2}{\vec {v_{2}'}}\\\end{aligned}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>bestimmt.

</p><p>Im <b>Schwerpunktsystem</b> reduziert sich der gesamte Prozess nach Abzug der Schwerpunktgeschwindigkeit

</p>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {v}}_{s}&={\frac {\sum {\vec {p}}}{\sum {m}}}\\\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ab3d9e08567cd7a7ef9f0ddc090e1bd464e8e766.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:11.746ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {v}}_{s}&={\frac {\sum {\vec {p}}}{\sum {m}}}\\\end{aligned}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>(Galilei-Transformation) auf einen Vorzeichenwechsel einer Geschwindigkeitskomponente (relativ zum Schwerpunkt) jedes Körpers.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ein_einfaches_Zahlenbeispiel">Ein einfaches Zahlenbeispiel</h3></div>

<p>Körper 1 mit Masse m=0,1kg und v=100m/s stößt auf einen ruhenden Körper der Masse 1,9kg.

</p><p>Aus den Erhaltungssätzen würde im <b>Laborsystem</b> das Gleichungssystem

</p>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\cdot 0,1kg\cdot v_{1}'^{2}+{\frac {1}{2}}\cdot 1,9kg\cdot v_{2}'^{2}={\frac {1}{2}}\cdot 0,1kg\cdot 100^{2}+{\frac {1}{2}}\cdot 1,9kg\cdot 0^{2}\\0,1kg\cdot v_{1}'+1,9kg\cdot v_{2}'=0,1kg\cdot 100+1,9kg\cdot 0\\\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/462718df3ac374a43c60f343aa5af57e67ee89c4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.413ex; margin-bottom: -0.258ex; width:65.729ex; height:8.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\cdot 0,1kg\cdot v_{1}'^{2}+{\frac {1}{2}}\cdot 1,9kg\cdot v_{2}'^{2}={\frac {1}{2}}\cdot 0,1kg\cdot 100^{2}+{\frac {1}{2}}\cdot 1,9kg\cdot 0^{2}\\0,1kg\cdot v_{1}'+1,9kg\cdot v_{2}'=0,1kg\cdot 100+1,9kg\cdot 0\\\end{aligned}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>gelöst werden müssen.

</p><p>Für die Berechnung im <b>Schwerpunktsystem</b> wird zunächst die Schwerpunktgeschwindigkeit berechnet:

</p>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}v_{s}={\frac {0,1\cdot 100}{2}}+{\frac {1,9\cdot 0}{2}}=5{\frac {m}{s}}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1377a5043d972ac1f16ecf08b6ca6fef9aa9e949.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:32.357ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}v_{s}={\frac {0,1\cdot 100}{2}}+{\frac {1,9\cdot 0}{2}}=5{\frac {m}{s}}\end{aligned}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Diese wird von den Anfangsgeschwindigkeiten subtrahiert.

</p><p>Die Körper haben nun die Relativgeschwindigkeiten 95m/s und -5m/s. Durch den Stoß werden nur die Vorzeichen getauscht.

Körper 1 hat nun v=-95m/s, Körper 2 hat v=+5m/s.

</p><p>Anschließend findet die Rücktransformation ins Laborsystem statt durch Addition der Schwerpunktsgeschwindigkeit (+5m/s), was auf die Endgeschwindigkeiten v=-90m/s für Körper 1 und v=+10m/s für Körper 2 führt.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>L. D. Landau, E. M. Lifschitz: <i>Lehrbuch der theoretischen Physik Band 1: Mechanik</i>, Akademie Verlag Berlin 1970</li>

<li><a href="Dieter_Meschede" title="Dieter Meschede">Dieter Meschede</a>: <i><a href="Gerthsen_Physik" title="Gerthsen Physik">Gerthsen Physik</a></i>, Springer, 24. Auflage 2010, ISBN 978-3-642-12893-6</li>

<li>Andreas Guthmann: <i>Einführung in die Himmelsmechanik und Ephemeridenrechnung</i>, Spektrum Akademischer Verlag, 2. Auflage 2000, ISBN 3-8274-0574-2</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Schwerpunktsenergie" title="Schwerpunktsenergie">Schwerpunktsenergie</a></li>

<li><a href="Kinematik_(Teilchensto%C3%9F)" class="mw-redirect" title="Kinematik (Teilchenstoß)">Kinematik (Teilchenstoß)</a></li></ul>

<div>

Normdaten (Sachbegriff): <a href="Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <span class="-print"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4334370-3">4334370-3</a></span> </div>

</div></div></div><div><div class="zim-footer">

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</div>

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</main>

</div>

</body></html>